Generalidades

Resolver la ecuación de segundo grado es encontrar sus soluciones o raíces.

Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una o ninguna solución.

Veremos cuatro métodos para resolver las ecuaciones de segundo grado:
1) Factorización
2) Completar cuadrados.
3) Utilizar la fórmula general.
4) Resolución gráfica.

Los métodos más completos son los dos últimos (utilización de la fórmula general y el método gráfico) pues los dos primeros no siempre se pueden utilizar.

 

Método de Factorización

Para resolver una ecuación de segundo grado utilizando el método de factorización,

utilizamos el concepto de que toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero;

entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así:

Si ax2+ bx + c = ( x + r1 ) ( x + r2 ) donde r1 y r2 son las soluciones de la ecuación,

entonces, la ecuación ax2+ bx + c = 0
es equivalente a: ( x + r1 ) ( x + r2 ) = 0

que se puede resolver usando la siguiente propiedad del sistema de los números reales:
si un producto es cero uno de los factores debe ser cero.

Ver Ejemplo.

 

Método por completación de cuadrados.

Es el método más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado.

1) Partiendo de la ecuación ax2 + bx + c = 0
(ejemplo: 2x2 + 12x + 10 = 0)

2) Dividimos cada término entre a y queda transformada en la ecuación equivalente
x2 + (b/a)x + c/a = 0
(ejemplo: x2 + 6x + 5 = 0)

3) Le restamos c/a a cada miembro y obtenemos
x2 + (b/a)x = -(c/a)
(ejemplo: x2 + 6x = - 5)

4) Digamos que la ecuación es x2 + px = q
le sumo a cada miembro (p/2)2
(ejemplo: x2 + 6x + 9 = 4)

5) Para poder continuar con este método, el primer miembro de la ecuación tiene que ser el desarrollo del cuadrado de un binomio:
ejemplo: (x + 3)2 = 4

6) Expreso el segundo como un número elevado al cuadrado
ejemplo: (x + 3)2 = 22

7) Transpongo el segundo miembro
ejemplo: (x + 3)2 - 22 = 0

8) Expreso como producto de binomios conjugados
ejemplo: (x + 3 -2) (x + 3 + 2) = 0
ejemplo: (x + 1 ) (x + 5) = 0

9) Para resolver aplico la propiedad de que si un producto de factores es cero uno de ellos debe valer cero.
x + 1 = 0 ó x + 5 = 0
y encuentro que las soluciones son x = -1 y x = -5

 

 

 

Método: Utilización de la fórmula general

La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es:

 

Esta fórmula tambien se conoce como fórmula de Baskara.

Veamos un ejemplo de como resolver una ecuación de segundo grado utilizando la fórmula general

 

 

1) Reduzco, simplifico y ordeno la ecuación para que adopte la forma ax2 + bx + c = 0

3x2 + 7x - 6 = 0
2) Reemplazo (sustituyo) los valores de a, b y c en la fórmula general, teniendo especial cuidado en los signos negativos.
3) Realizo las operaciones que están debajo del radical
( las operaciones subradicales o sea: b2 - 4.a.c)
El resultado de estas operaciones recibe el nombre de determinante.

 (7)2- 4.(3).(-6) =
49 + 72 =
121

4) La fórmula ha quedado así:

5) Calculando la raíz cuadrada de 121 y efectuando el producto indicado en el denominador (2.3) obtenemos:
6) Entonces las soluciones de la ecuación (sus raíces) son:
   

 

Cálculo de la fórmula general para resolver las ecuaciones de 2do. grado.

Dada una ecuación de segundo grado E(x) = ax2 + bx + c = 0, le aplicamos una serie de transformaciones y vamos a determinar una ecuaciones equivalente a la dada, con la ventaja de que las soluciones son fáciles de calcular.

 
Partimos de la ecuación:  ax2 + bx + c = 0
Le sumamos a ambos miembros -c  ax2 + bx + c - c = - c
Obtengo la ecuación equivalente:  ax2 + bx = - c
Multiplico todos los términos por 4a 4a2x2 + 4abx = - 4ac
Sumo a ambos miembros b2 4a2x2 + 4abx + b2 = b2- 4ac
El primer miembro es el desarrollo de (2ax+b)2 (2ax + b)2 = b2- 4ac
Extraigo la raíz cuadrada de ambos miembros:
Sumo -b a ambos miembros:
Despejo x y obtengo la fórmula general: